Une fonction de probabilité p(x) fait correspondre à chaque valeur x d'une variable aléatoire X la probabilité p(x) = P(X = x). Une loi de probabilité est une famille de fonctions de probabilités qui sont structurellement de même forme, mais diffèrent l'une de l'autre par les valeurs de certains paramètres.
Nous rappelons dans ce chapitre les propriétés de quatre des lois les plus courantes (dont les variables X, Y, Z, et W décrites ci-dessous sont des exemples) : la loi binomiale, la loi hypergéométrique, la loi binomiale négative et, enfin, la loi de Poisson. La loi géométrique, discutée aussi, est un cas particulier de la loi binomiale négative. Nous introduirons aussi la loi multinomiale, une généralisation de la loi binomiale dont nous nous servirons plus loin.
Les quatre situations suivantes peuvent servir de paradigmes :
1. Loi binomial On tire au hasard un échantillon de n pièces fabriquées ; la probabilité qu’une pièce tirée soit défectueuse est p ; X est le nombre de pièces défectueuses dans l’échantillon.
2. Loi hypergéométrique On forme au hasard un comité de n personnes choisies parmi les N étudiants d’une classe ; Y est le nombre de filles dans le comité.
3. Loi binomiale négative Dans le cadre d’une étude de marketing, on doit constituer un échantillon de n familles immigrantes. Pour ce faire, on signale des numéros de téléphone au hasard jusqu’au moment où l’on obtient n familles immigrantes ; Z est le nombre d’appels qu’il faudra faire pour constituer l’échantillon.
4. Loi de Poisson On s’installe dans un coin de rue de 14:00 à 16:00 ; le nombre moyen de taxis qui passent normalement à cette intersection entre 14:00 et 16:00 est un certain nombre λ ; W est le nombre de taxis qui passeront cette fois-ci dans cet intervalle de temps.